Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosA=bcosC+ccosB．
（Ⅰ） 求A的大小；
（Ⅱ） 求cosB-sinC的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由正弦定理与三角函数间的关系式可求得cosA=，从而可求得A的大小；
（Ⅱ）由C=-B，再结合辅助角公式即可求得cosB-sinC的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵△ABC中，2acosA=bcosC+ccosB，
∴由正弦定理===2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，
即sin2A=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴2sinAcosA-sinA=0，
∴sinA（2cosA-1）=0，而sinA≠0，
∴cosA=，又A∈（0，π）
∴A=…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=-B，
故cosB-sinC
=cosB-sin（-B）
=cosB-[sincosB-cossinB]
=cosB-cosB+（-）sinB
=-cosB-sinB
=-sin（B+），
∵0＜B＜，
∴＜B+＜，＜sin（B+）≤1，
∴-1≤-sin（B+）＜-．
∴cosB-sinC的取值范围是[-1，-]…14分