Question

如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
（Ⅰ）求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）取AB中点O，连接EO，DO．利用等腰三角形的性质，可得EO⊥AB，证明边形OBCD为正方形，可得AB⊥OD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面EOD，从而可得AB⊥ED；
（Ⅱ）由平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，可得EO⊥平面ABCD，从而可得EO⊥OD．建立空间直角坐标系，确定平面ABE的一个法向量为，，利用向量的夹角公式，可求直线EC与平面ABE所成的角；
（Ⅲ）存在点F，且时，有EC∥平面FBD．确定平面FBD的法向量，证明=0即可．
（Ⅰ）证明：取AB中点O，连接EO，DO．
因为EB=EA，所以EO⊥AB．                            …（1分）
因为四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，
所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD．   …（2分）
因为EO∩OD=O
所以AB⊥平面EOD．      …（3分）
因为ED⊂平面EOD
所以AB⊥ED．        …（4分）
（Ⅱ）【解析】
因为平面ABE⊥平面ABCD，且 EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB
所以EO⊥平面ABCD，
因为OD⊂平面ABCD，所以EO⊥OD．
由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz． …（5分）
因为△EAB为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，所以O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．
所以，平面ABE的一个法向量为． …（7分）
设直线EC与平面ABE所成的角为θ，
所以 ，
即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为．               …（9分）
（Ⅲ）【解析】
存在点F，且时，有EC∥平面FBD．             …（10分）
证明如下：由 ，，所以．
设平面FBD的法向量为=（a，b，c），则有
所以取a=1，得=（1，1，2）．              …（12分）
因为=（1，1，-1）•（1，1，2）=0，且EC⊄平面FBD，所以EC∥平面FBD．
即点F满足时，有EC∥平面FBD．               …（14分）