Question

已知等比数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ-a，n∈N^*．设公差不为零的等差数列{b_n}满足：b₁=a₁+2，且b₂+5，b₄+5，b₈+5成等比．
（Ⅰ） 求a及b_n；
（Ⅱ） 设数列{a_n}的前n项和为T_n．求使T_n＞b_n的最小正整数n的值．

Answer

（Ⅰ）由等比数列{an}的前n项和Sn=2n-a，n∈N*，先分别求出a1，a2，a3，由，能求出a；由公差不为零的等差数列{bn}满足：b1=a1+2，且b2+5，b4+5，b8+5成等比数列，列方程组先求出首项和公差，由此能求出bn．
（Ⅱ）由，知an==2（n-1），故数列{an}的前n项和Tn=n（n-1）．由此能求出使Tn＞bn的最小正整数n的值．
【解析】
（Ⅰ）∵等比数列{an}的前n项和Sn=2n-a，n∈N*，
∴a1=S1=2-a，
a2=（22-a）-（2-a）=2，
a3=（23-a）-（22-a）=4，
∵，
∴22=（2-a）•4，解得a=1，
∴．
∵公差不为零的等差数列{bn}满足：b1=a1+2，且b2+5，b4+5，b8+5成等比数列，
∴，
∴（8+3d）2=（8+d）（8+7d），
解得d=0（舍），或d=8，
∴bn=8n-5，n∈N*．
（Ⅱ）∵，∴an==2（n-1），
∴数列{an}的前n项和
Tn=2（1-1）+2（2-1）=2（3-1）+2（4-1）+…+2（n-1）
=2[0+1+2+3+…+（n-1）]
=2×
=n（n-1）．
∵bn=8n-5，Tn＞bn，
∴n（n-1）＞8n-5，
∵n∈N*，∴n≥9，
∴使Tn＞bn的最小正整数n的值是9．