Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第2项，第5项，第14项分别是等比数列{b_n}的第2项，第3项，第4项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求数列的前n项和s_n
（3）设数列{c_n}对任意自然数n，均有，求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₀₆值．

Answer

（1）由等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第2项，第5项，第14项分别是等比数列{bn}的第2项，第3项，第4项，知（1+d）（1+13d）=（1+4d）2，由此能求出数列{an}与{bn}的通项公式．
（2）由an=2n-1，知==（），由此利用裂项求和法能求出数列的前n项和Sn．
（3）由bn=3n-1，an+1=2n+1，对任意自然数n，均有，知当n=1时，c1=3，当n≥2时，cn=2•3n-1，由此能求出c1+c2+c3+…+c2006．
【解析】
（1）∵等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，
且第2项，第5项，第14项分别是等比数列{bn}的第2项，第3项，第4项，
∴（1+d）（1+13d）=（1+4d）2，
解得d=2．
an=1+（n-1）×2=2n-1．
∵b2=1+d=3，b3=1+4d=9，b4=1+13d=27，
∴bn=3n-1．
（2）∵an=2n-1，
∴==（），
∴数列的前n项和
Sn=[（1-）+（-）+…+（-）+（）]=（1-）=．
（3）∵bn=3n-1，an+1=2n+1，对任意自然数n，均有，
∴当n=1时，c1=3，
当n≥2时，=an+1-an=（2n+1）-（2n-1）=2，
∴cn=2•3n-1，
∴c1+c2+c3+…+c2006=3+2×3+2×32+…+2×32005=3+2×=3+3×32005-3=32006．