Question

附加题（10分，总分120以上有效）
（1）设函数f（x）=（x-3）³+x-1，{a_n}是公差不为0的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，则a₁+a₂+…+a₇=______
（2）若S_n=sin+sin+…+sin（n∈N⁺），则在S₁，S₂，…S₁₀₀中，正数的个数是______．

Answer

（1）根据f（x）=（x-3）3+x-1，可得f（x）-2=（x-3）3+x-3，构造函数g（x）=f（x）-2，从而g（x）关于（3，0）对称，利用f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，可得g（a1）+g（a2）+…+g（a7）=0，从而g（a4）为g（x）与x轴的交点，由此可求a1+a2+…+a7的值．
（2）由sin＞0，sin＞0，…，sin＞0，sin=0，sin＜0，…，sin＜0，sin=0，可得到S1＞0，…S13＞0，而S14=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．
【解析】
（1）【解析】
∵f（x）=（x-3）3+x-1，∴f（x）-2=（x-3）3+x-3，
令g（x）=f（x）-2，
∴g（x）关于（3，0）对称，
∵f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，
∴f（a1）-2+f（a2）-2+…+f（a7）-2=0
∴g（a1）+g（a2）+…+g（a7）=0，
∴g（a4）为g（x）与x轴的交点，
因为g（x）关于（3，0）对称，所以a4=3，
∴a1+a2+…+a7=7a4=21，
故答案为：21．
（2）【解析】
∵sin＞0，sin＞0，…，sin＞0，sin=0，sin＜0，…，sin＜0，sin=0，
∴S1=sin＞0，
S2=sin+sin＞0，…，
S8=sin+sin+…+sin+sin+sin=sin+…+sin+sin＞0，
…，
S12＞0，
而S13=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin+…+sin=0，
S14=S13+sin=0+0=0，
又S15=S14+sin=0+sin=S1＞0，S16=S2＞0，…S27=S13=0，S28=S14=0，
∴S14n-1=0，S14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7项，
∴在S1，S2，…，S100中，为0的项共有14项，其余项都为正数．
故在S1，S2，…，S100中，正数的个数是86．
故答案为：86．