Question

已知函数f（x）=ax³+bx+c在点x=2处取得极值c-16，且f（x）有极大值28．
（1）求a，b，c的值；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最小值；
（3）求函数f（x）在x=1处的切线方程．

Answer

（1）通过求导，利用已知条件找出函数的另一个极值点，对a分类讨论即可得出；
（2）利用（1）的结论，把极值与区间端点出的函数值相比即可得出[-3，3]上的最大值；
（3）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而即可得到切线的方程．
【解析】
（1）∵函数f（x）=ax3+bx+c，∴f′（x）=3ax2+b．
∵x=2是函数f（x）的极值点，∴x=-2也必是函数f（x）的极值点．
因此必有a＜0时或a＞0时．
解得a＜0时无解，a＞0时解得
∴a=1，b=-12，c=12．
（2）由（1）可知：f（x）=x3-12x+12，
f′（x）=3（x+2）（x-2），
令f′（x）=0，解得x=±2．
列表如下：
由表格可知：当x=2时，函数f（x）取得极小值，且f（2）=-4；又f（-3）=21．
∴函数f（x）在区间[-3，3]上的最小值为-4．
（3）由（2）可知：f′（1）=3×3×（-1）=-9，
又f（1）=1-12+12=1，∴切点为（1，1）．
∴函数f（x）在x=1处的切线方程为y-1=-9（x-1），即9x+y-10=0．