Question

已知函数f（x）=+ax²+（1-b²）x，m，a，b∈R．
（1）当m=1时，若函数f（x）是R上的增函数，求a²+b²+2a+4b的最大值；
（2）当a=1，b=时，函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求实数m的取值范围．

Answer

（1）通过求导，利用函数f（x）是R上的增函数，得出a、b满足的条件，把要求化为a2+b2+2a+4b=（a+1）2+（b+2）2-5，而表示的是点P（-1，-2）到a、b满足的区域上的点的距离，先求出其最大值，进而即可得出答案；
（2）由“函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间”，可先考虑其反面是“函数f（x）在（2，+∞）上单调递减或恒为常数”，得出m的取值范围，进而即可得出答案．
【解析】
（1）当m=1时，f（x）=，∴f′（x）=x2+2ax+1-b2．
∵函数f（x）是R上的增函数，∴f′（x）=x2+2ax+1-b2≥0（不恒为0）在R上恒成立，∴△=4a2-4（1-b2）≤0，化为a2+b2≤1．
a2+b2+2a+4b=（a+1）2+（b+2）2-5，
而表示的是点P（-1，-2）到圆面a2+b2≤1上的任意一点的距离，∵点P到此圆面的最大距离为|OP|+r=+1=，
∴a2+b2+2a+4b的最大值==1+2．
（2）当a=1，b=时，f（x）=，∴f′（x）=mx2+2x-1．
由“函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间”其反面是“函数f（x）在（2，+∞）上单调递减或恒为常数”，
先考虑其反面：①无论m什么实数，f（x）不可能为常数．
②若函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，则f′（x）≤0（不恒为0）恒成立．
∴必有或．
当m=0时，不满足题意，应舍去；
由解得m≤-1，其补集为m＞-1．
故当m＞-1时，函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间．