Question

已知曲线C：xy=1，过C上一点An（x_n，y_n）作一斜率的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1）．
（1）求x_n与x_n+1之间的关系式；
（2）若，求证：数列是等比数列；
（3）求证：（-1）x₁+（-1）²x₂+（-1）³x₃+…（-1）ⁿx_n＜1（n∈N^*）

Answer

（1）利用C上一点An（xn，yn）作一斜率的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），求出斜率，即可得到xn与xn+1之间的关系式；
（2）设，由（1）得=-2an，从而可得数列{}是等比数列；
（3）先确定，证明（-1）n-1xn-1+（-1）nxn＜+，再分类讨论，即可证得结论．
（1）【解析】
∵C上一点An（xn，yn）作一斜率的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1）．
∴kn===-=
∴xnxn+1=xn+2，即：xn+1=1+．
（2）证明：设，由（1）得==-2（）=-2an
∵，∴=-2，∴数列{}是以2为首项，2为公比的等比数列；
（3）证明：由（2）得
∴
∴
∴（-1）n-1xn-1+（-1）nxn=＜=+
当n为偶数时，则（-1）x1+（-1）2x2+…+（-1）nxn＜++…+=1-＜1；
当n为奇数时，前n-1项为偶数项，
于是有：（-1）x1+（-1）2x2+…+（-1）nxn＜1+（-1）nxn，而
∴1+（-1）nxn=1-xn＜1
∴（-1）x1+（-1）2x2+…+（-1）nxn＜1
综上所述，当n∈N*时，（-1）x1+（-1）2x2+…+（-1）nxn＜1成立．