Question

已知数列．
（I）试证数列是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（II）在数列{b_n}是，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由．
（III）试证在数列{b_n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r，s，使得b₁，b_r，b_s成等差数列；并求出正整数r，s之间的关系．

Answer

（I）由an+an+1=2n，得an+1=2n-an，从而可证=-1，即可证得数列是等比数列，并可求数列{bn}的通项公式；
（II）【解析】
假设在数列{bn}中，存在连续三项bk-1，bk，bk+1（k∈N*，k≥2）成等差数列，则bk-1+bk+1=2bk，即2k-1=4（-1）k-1．分类讨论，可得在数列{bn}中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列；
（III）证明：要使b1，br，bs成等差数列，只需b1+bs=2br，即2s-2r+1=（-1）s-2（-1）r-3，（﹡），分类讨论，可知存在不小于4的正偶数s，且s=r+1，使得b1，br，bs成等差数列．
（I）证明：由an+an+1=2n，得an+1=2n-an，所以==-1
又因为a1-=，所以数列{an-×2n}是首项为，公比为-1的等比数列．
所以an-×2n=×（-1）n-1，即an=[2n-（-1）n]，所以bn=2n-（-1）n．  （5分）
（II）【解析】
假设在数列{bn}中，存在连续三项bk-1，bk，bk+1（k∈N*，k≥2）成等差数列，则bk-1+bk+1=2bk，
即[2k-1-（-1）k-1]+[2k+1-（-1）k+1]=2[2k-（-1）k]，即2k-1=4（-1）k-1．
①若k为偶数，则2k-1＞0，4（-1）k-1=-4＜0，所以，不存在偶数k，使得bk-1，bk，bk+1成等差数列．（7分）
②若k为奇数，则当k≥3时，2k-1≥4，而4（-1）k-1=4，所以，当且仅当k=3时，bk-1，bk，bk+1成等差数列．
综上所述，在数列{bn}中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列．（9分）
（III）证明：要使b1，br，bs成等差数列，只需b1+bs=2br，
即3+2s-（-1）s=2[2r-（-1）r]，即2s-2r+1=（-1）s-2（-1）r-3，（﹡） （10分）
①若s=r+1，在（﹡）式中，左端2s-2r+1=0，
右端（-1）s-2（-1）r-3=（-1）s+2（-1）s-3=3（-1）s-3，
要使（﹡）式成立，当且仅当s为偶数时．又s＞r＞1，且s，r为正整数，
所以当s为不小于4的正偶数，且s=r+1时，b1，br，bs成等差数列．（12分）
②若s≥r+2时，在（﹡）式中，左端2s-2r+1≥2r+2-2r+1=2r+1，
由（II）可知，r≥3，所以r+1≥4，所以左端2s-2r+1≥16（当且仅当s为偶数、r为奇数时取“=”）；右端（-1）s-2（-1）s-3≤0．所以当s≥r+2时，b1，br，bs不成等差数列．
综上所述，存在不小于4的正偶数s，且s=r+1，使得b1，br，bs成等差数列． （14分）