Question

已知二次函数y=f（x）=x²+bx+c的图象过点（1，13），且函数y=是偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知t＜2，g（x）=[f（x）-x²-13]•|x|，求函数g（x）在[t，2]上的最大值和最小值．

Answer

（1）根据函数y=是偶函数可求得二次函数f（x）的对称轴方程，从而可求得b；
（2）先把g（x）化为分段函数，作出g（x）的图象，借助图象可直接求得在[t，2]上的最大值，分情况讨论可得g（x）的最小值；
解 （1）因为函数是偶函数，所以二次函数f（x）=x2+bx+c的对称轴方程为，故b=1．
又因为二次函数f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），所以1+b+c=13，故c=11．
因此，f（x）的解析式为f（x）=x2+x+11．
（2）g（x）=（x-2）|x|，
当x≤0时，g（x）=-（x-1）2+1，当x＞0时，g（x）=（x-1）2-1，作出g（x）的图象，如下图所示：
由图象知，g（x）在[t，2]上的最大值gmax（x）=0，
当1≤t＜2时，gmin（x）=t2-2t；当1-≤t＜1时，gmin（x）=-1；当t＜1-时，gmin（x）=-t2+2t；
故g（x）在[t，2]上的最大值为0；最小值gmin（x）=．