Question

用数学归纳法证明aⁿ⁺¹+（a+1）^2n-1能被a²+a+1整除（n∈N^*）．

Answer

本题考查的知识点是数学归纳法，我们可以先验证①n=1时命题是否成立②假设n=k时命题成立③推证n=k+1时命题成立→得结论．
【解析】
（1）当n=1时，a2+（a+1）=a2+a+1可被a2+a+1整除
（2）假设n=k（k∈N*）时，ak+1+（a+1）2k-1能被a2+a+1整除，则当n=k+1时，
ak+2+（a+1）2k+1=a•ak+1+（a+1）2（a+1）2k-1
=a[ak+1+（a+1）2k-1]+（a2+a+1）（a+1）2k-1，
由假设可知a[ak+1+（a+1）2k-1]能被（a2+a+1）整除，
（a2+a+1）（a+1）2k-1也能被（a2+a+1）整除
∴ak+2+（a+1）2k+1能被（a2+a+1）整除，即n=k+1时命题也成立，
∴对任意n∈N*原命题成立．