Question

已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）-f（x）=2f（2），若y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，且f（1）=2，则f（1003）=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6

Answer

由函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称且由y=f（x-1）向左平移1个单位可得y=f（x）的图象可知函数y=f（x）的图象关于x=0对称即函数y=f（x）为偶函数，在已知条件中令x=-2可求f（2）=0，从而求得函数的周期，利用所求周期以及偶函数的性质即可求解．
【解析】
：∵函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称且把y=f（x-1）向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，
∴函数y=f（x）的图象关于x=0对称，即函数y=f（x）为偶函数．
∵f（x+4）-f（x）=2f（2），
令x=-2可得f（2）-f（-2）=2f（2），则f（2）=0．
从而可得f（x+4）=f（x）即函数是以4为周期的周期函数，
∴f（1003）=f（250×16+3）=f（3）=f（-1）=f（1）=2，
故选A．