Question

已知a为实数，函数f（x）=x³-ax²（x∈R）．
（1）若f′（1）=5，求a的值及曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．

Answer

（1）求导函数，利用f′（1）=5，确定a的值，从而可得切点坐标，即可求得切线的方程；
（2）求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求得函数的最值．
【解析】
（1）求导数可得f′（x）=3x2-2ax，
∵f′（1）=5，∴3-2a=5，∴a=-1
又当a=-1时，f（x）=x3+x2，∴f（1）=2，
所以，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-2=5（x-1），即y=5x-3．（5分）
（2）令f′（x）=3x2-2ax，解得x1=0，x2=，
当≤0，即a≤0时，在（0，2）上f′（x）＞0，f（x）在[0，2]上为增函数，∴f（x）max=f（2）=8-4a；
当，即a≥3时，在（0，2）上f′（x）＜0，f（x）在[0，2]上为减函数，∴f（x）max=f（0）=0；
当0＜＜2，即0＜a＜3时，在（0，）上f′（x）＜0，在（，2）上f′（x）＞0，
故f（x）在[0，]上为减函数，在[，2]上为增函数，
故当f（2）≥f（0），即8-4a≥0，即0＜a＜2时，f（x）max=f（2）=8-4a；
当f（2）＜f（0），即8-4a＜0，即2＜a＜3时，f（x）max=f（0）=0，
综上所述，f（x）=      （13分）