如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，其中B...

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N为侧棱PC上的两个三等分点．
①求证：AN∥平面MBD；
②求二面角M-BD-C的余弦值．

①利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明； ②通过建立空间直角坐标系，利用求两个平面的法向量所成的夹角的余弦值即可．【解析】 ①证明：连接对角线AC交BD于点O， ∵底面ABCD是矩形，∴AO=OC．又∵NM=MC=，∴OM∥AN．又∵AN⊄平面MBD，OM⊂平面MBD． ∴AN∥平面MBD； ②距离如图所示的空间直角坐标系：∵BC=2AB=2PA=6，∴D（6，0，0），C（6，3，0），B（0，3，0），P（0，0，3）．由M点为线段PC的三等分点，∴M（4，2，1）． ∴，．设平面BMD的法向量．则即，令y=2，则x=1，z=． ∴． ∵PA⊥平面BCD，∴可取=（0，0，3）作为平面BCD的法向量． ∴===． ∴二面角M-BD-C的余弦值为．

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考点分析：

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