Question

已知椭圆（a＞b＞0）的左顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，且圆C：过A，F₂两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B，C，点Q为椭圆E上的一点，若直线QB，QC的斜率k_QB，k_QC存在且不为0，求证：k_QB•k_QC为定值；
（3）设直线PF₂的倾斜角为α，直线PF₁的倾斜角为β，当时，证明：点P在一定圆上．

Answer

（1）利用椭圆的定义即可求出；
（2）根据关于原点对称的点的特点及点Q在椭圆上即可证明；
（3）利用两角差的正切公式及斜率公式即可证明．
【解析】
（1）由圆C：，令y=0，化为，解得，
∴A，，∴a=2，c=，∴=9．
∴椭圆E的方程为；
（2）由于点B、C是直线与椭圆的两交点，∴B、C两点关于原点对称，设B（m，n），则C（-m，-n）．
设Q（x，y）．由于点B、Q在椭圆上，则，；
两式相减得，即．
∴kQC•kQB===-，
∴．
（3）设P（x，y），∵，，
∴=tanβ=，=tanα=，
∵，∴tan（β-α）=-，
∴=，化为x2+y2-2y=3，即x2+（y-1）2=4．
∴点P在定圆x2+（y-1）2=4上．