Question

已知函数f（x）=x+
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义证明f（x）在（0，1）和是减函数．

Answer

（1）函数为奇函数．确定函数的定义域，利用奇函数的定义，即可得到结论；
（2）按照取值、作差、变形定号，下结论的步骤进行证明，作差后要因式分解．
（1）【解析】
函数为奇函数．
函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
∵f（-x）=-x-=-（x+）=-f（x）
∴f（x）是奇函数；
（2）证明：设x1、x2∈（0，1），且x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=x1+-x2-=
∵x1、x2∈（0，1），∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1，
∴＞0
∴f（x1）-f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴（x）在（0，1）上是减函数．