(Ⅰ)欲证AC1⊥平面A1BC,需要从平面A1BC中找出两条相交线与AC1垂直,由图形知,可证BC⊥AC1,又BA1⊥AC1.由线面垂直的定理即可得.
(Ⅱ)求C1到平面A1AB的距离,本小题拟采用向量法求解,建立空间坐标系,求出平面A1AB的法向量,以及,求在平面法向量上的投影即可得到点到面的距离.
(Ⅲ)求二面角A-A1B-C的余弦值,本小题拟采用向量法求解,根据(2)求出两平面的法向量,直接求两向量夹角的余弦值的绝对值即可.
【解析】
(Ⅰ)证明:因为A1在底面ABC上的射影为AC的中点D
所以平面A1ACC1⊥平面ABC
∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC=AC
∴BC⊥平面A1ACC1∴BC⊥AC1
∵AC1⊥BA1且BC1∩BA1=B
∴AC1⊥平面A1BC
(Ⅱ)如图所示,以C为坐标原点建立空间直角坐标系
∵AC1⊥平面A1BC∴AC1⊥A1C
∴四边形A1ACC1是菱形∵D是AC的中点
∴∠A1AD=60°∴A(2,0,0)A1(1,0,)
B(0,2,0)C1(-1,0,)
∴=(1,0,)=(-2,2,0)
设平面A1AB的法向量=(x,y,z),则,令z=1,
∴=(,,1)
∵=(2,0,0)∴
∴C1到平面A1AB的距离为
(Ⅲ)平面A1AB的法向量=(,,1),平面A1BC的法向量=(-3,0,)
∴,
设二面角A-A1B-C的平面角为θ,θ为锐角,
∴
即二面角A-A1B-C的余弦值为