Question

已知函数f（x）=lnx-x，．
（1）求h（x）的最大值；
（2）若关于x的不等式xf（x）≥-2x²+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）-x³+2ex²-bx=0恰有一解，其中e是自然对数的底数，求实数b的值．

Answer

（1）已知h（x）的解析式，对其进行求导，利用导数研究其单调性，从而求解；
（2）因为关于x的不等式xf（x）≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，将问题转化为xlnx-x2≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，利用常数分离法进行求解；
（3）关于x的方程f（x）-x3+2ex2-bx=0恰有一解，可得=x2-2ex+b+1恰有一解，构造新函数h（x）=利用导数研究h（x）的最大值，从而进行求解；
【解析】
（1）因为，所以，…（2分）
由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，…（4分）
所以函数h（x）的单调增区间是（0，e]，单调减区间是[e，+∞），
所以当x=e时，h（x）取得最大值；…（6分）
（2）因为xf（x）≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，
即xlnx-x2≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，
亦即对一切x∈（0，+∞）恒成立，…（8分）
设，因为，
故ϕ（x）在（0，3]上递减，在[3，+∞）上递增，ϕ（x）min=ϕ（3）=7+ln3，
所以a≤7+ln3．  …（10分）
（3）因为方程f（x）-x3+2ex2-bx=0恰有一解，
即lnx-x-x3+2ex2-bx=0恰有一解，即恰有一解，
由（1）知，h（x）在x=e时，，…（12分）
而函数k（x）=x2-2ex+b+1在（0，e]上单调递减，在[e，+∞）上单调递增，
故x=e时，k（x）min=b+1-e2，
故方程=x2-2ex+b+1恰有一解当且仅当b+1-e2=，
即b=e2+-1；