Question

如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，且AD=1，BD=2，△ACD绕CD旋转至
A′CD，使点A'与点B之间的距离A′B=．
（1）求证：BA′⊥平面A′CD；
（2）求二面角A′-CD-B的大小；
（3）求异面直线A′C与BD所成的角的余弦值．

Answer

（1）要证BA′⊥面A′CD． 只需证明A′D⊥A′B，CD⊥A′B，由题意可证，故可得结论；
（2）利用A′D⊥CD，且BD⊥CD，可知∠A′DB是所求二面角的平面角，从而可求．
（3）利用平行线，可得∠CA′E为所求角，利用余弦定理可求；
（本小题满分12分）
解（1）∵CD⊥AB，∴CD⊥A′D，CD⊥DB，∴CD⊥平面A′BD，
∴CD⊥BA′．又在△A′DB中，A′D=1，DB=2，A′B=，∴∠BA′D=90°，
即BA′⊥A′D，∴BA′⊥平面A′CD．-------------------------（4分）
（2）∵CD⊥DB，CD⊥A′D，∴∠BDA′是二面角
A′-CD-B的平面角．又Rt△A′BD中，A′D=1，BD=2，
∴∠A′DB=60°，即  二面角A′-CD-B为60°．---------（8分）
（3）过A′作A′E∥BD，在平面A′BD中作DE⊥A′E于E，
连CE，则∠CA′E为A′C与BD所成角．
∵CD⊥平面A′BD，DE⊥A′E，∴A′E⊥CE．
∵EA′∥AB，∠A′DB=60°，∴∠DA′E=60°，又A′D=1，∠DEA′=90°，∴A′E=
又∵在Rt△ACB中，AC==∴A′C=AC=
∴cos∠CA′E===，即A′C与BD所成角的余弦值为．---------（12分）