Question

（1）求直线y=x+1被双曲线截得的弦长；
（2）求过定点（0，1）的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程．

Answer

（1）直线y=x+1代入双曲线方程，利用韦达定理，即可求弦长；
（2）方法一：设直线的方程代入双曲线方程，利用韦达定理，可得关于k的表达式，消参，即可得到弦中点轨迹方程；
方法二：设弦的两个端点坐标，代入双曲线方程，利用点差法，即可求得结论．
【解析】
（1）由得4x2-（x+1）2-4=0，即3x2-2x-5=0（*）
设方程（*）的解为x1，x2，则有得，
（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为y=kx+1，它被双曲线截得的弦为AB对应的中点为P（x，y），
由得（4-k2）x2-2kx-5=0（*）
设方程（*）的解为x1，x2，则△=4k2+20（4-k2）＞0，
∴，且，
∴，
即，消去k得4x2-y2+y=0（y＜-4或y＞0）．
方法二：设弦的两个端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），弦中点为P（x，y），则
，两式相减得：4（x1+x2）（x1-x2）=（y1+y2）（y1-y2），
∴，即，即4x2-y2+y=0（y＜-4或y＞0）．