Question

已知圆锥曲线C经过定点P（3，），它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为x=-1，斜率为2的直线l交圆锥曲线C于A、B两点，且|AB|=，求圆锥曲线C和直线ℓ的方程．

Answer

利用抛物线的定义，可得抛物线方程，直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式，即可求得直线方程．
【解析】
∵圆锥曲线的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为x=-1，
∴圆锥曲线C是焦点为F（1，0）的抛物线，且p=2
∴抛物线方程为y2=4x；…（3分）
设ℓ的方程为y=2x+b，A（x1y1），B（x2，y2）
由y=2x+b代入y2=4x，消去y，整理得：4x2+4（b-1）x+b2=0…（4分）
则x1+x2=-（b-1），x1x2=…（5分）
∴|AB|=…（6分）
又∵|AB|=，∴1-2b=9，∴b=-4 …（7分）
故直线ℓ的方程为y=2x-4…（8分）
综上所述：圆锥曲线C的方程为y2=4x，直线ℓ的方程为y=2x-4…（10分）