Question

定义：离心率的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆的两个焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0）（c＞0），P为椭圆E上的任意一点．
（1）试证：若a，b，c不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”；
（2）设E为“黄金椭圆”，问：是否存在过点F₂、P的直线l，使l与y轴的交点R满足？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由；
（3）设E为“黄金椭圆”，点M是△PF₁F₂的内心，连接PM并延长交F₁F₂于N，求的值．

Answer

（1）利用反证法，可得a，b，c成等比数列，与已知矛盾；
（2）假设直线l的方程，求出P的坐标，代入椭圆方程，可得，与k2≥0矛盾；
（3）设△PF1F2的内切圆半径，利用等面积，可得，由此可求的值．
（1）证明：假设E为黄金椭圆，则，∴．…（1分）
∴．…（3分）
即a，b，c成等比数列，与已知矛盾，故椭圆E一定不是“黄金椭圆”．…（4分）
（2）【解析】
依题意，假设直线l的方程为y=k（x-c）．
令x=0有y=-kc，即点R的坐标为（0，-kc）．
∵，∴点F2（c，0），
∴点P的坐标为（2c，kc）．…（6分）
∵点P在椭圆上，∴．
∵b2=ac，∴4e2+k2e=1．
∴，与k2≥0矛盾．
∴满足题意的直线不存在．…（8分）
（3）【解析】
连接MF1，MF2，设△PF1F2的内切圆半径为r．
则=
即=
==
∴…（10分）
∴
∴
∴…（12分）