Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁⊥平面ABC，AA₁=2，，，且此三棱柱的各顶点都在一个球面上，则球的体积为    ．

Answer

根据题意并结合空间线面垂直的性质，可得三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心是上下底面斜边中点的连线段PQ的中点．在直角Rt△POB中，利用勾股定理算出BO的长，即得外接球半径R的大小，再用球的体积公式即可算出所求外接球的体积．
【解析】
直三棱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，（如图），
∵△ABC中，，
∴下底面△ABC的外心P为BC的中点，
同理，可得上底面△A1B1C1的外心Q为B1C1的中点，
连接PQ，则PQ与侧棱平行，所以PQ⊥平面ABC
再取PQ中点O，可得：点O到A、B、C、A1、B1、C1的距离相等，
∴O点是三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心
∵Rt△POB中，BP==，PQ=AA1=1，
∴BO==2，即外接球半径R=2，
因此，三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球的体积为：
V=πR3═π×23=．
故答案为：