Question

如图，抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上．
过点M（0，-2）作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足．
（Ⅰ）求直线l和抛物线的方程；
（Ⅱ）当抛物线上一动点P从点A向点B运动时，求△ABP面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）由题意设出直线和抛物线的方程，联立方程用根与系数法和向量相等求出p，k的值；
（Ⅱ）由题意AB为定长，只要AB边上的高最大，则三角形的面积最大；过点P的切线与l平行时，△APB得面积最大，求出P点的坐标，再求P点到直线AB的距离和AB的长，再求出面积．
【解析】
（Ⅰ）根据题意可设直线l的方程为y=kx-2，抛物线方程为x2=-2py（p＞0） （2分）
有得x2+2pkx-4p=0 （3分）
设点A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=-2pk，y1+y2=k（x1+x2）-4=-2pk2-4
∴（4分）
∵，
∴，解得（5分）
故直线l的方程为y=2x-2，抛物线方程为x2=-2y． （6分）
（Ⅱ）据题意，当抛物线过点P的切线与l平行时，△APB得面积最大（7分）
设点P（x，y），由y'=-x，故由-x=2得x=-2，则
∴P（-2，-2） （9分）
∴点P到直线l的距离（10分）
由，得x2+4x-4=0 （11分）
∴（12分）
∴△ABP的面积的最大值为（14分）