Question

函数f（x）=x³+3ax²+3bx+2在x=2处取得极值，其图象在x=1处的切线与直线x-3y+5=0垂直．
（1）求a，b的值；
（2）当时，xf′（x）≤m-6x²+9x恒成立，求m的取值范围．

Answer

（1）由题意及两个已知条件可以建立a，b的两个方程．
（2）由题意知属于函数在定义域上恒成立问题；一般先对解析式变形；一端分解出参数字母m，一端为函数式，要想恒成立等价转化为字母恒小于或大于函数在定义域下的最值．
【解析】
（1）f'（x）=3（x2+2ax+b）
由题意得，解得a=-1，b=0
（2）当时，xf'（x）≤m-6x2+9x恒成立⇔当时，3x3-9x≤m恒成立
令g（x）=3x3-9x，则g'（x）=9（x+1）（x-1）g（x）在是增函数，（-1，1）是减函数
而，所以当时，g（x）max=6
故m≥6