Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足a₁=1，a₂=3，，b_n=a_n+1-a_n．
（1）求数列{b_n}，{a_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足c_n=b_n•log₂（a_n+1）（n∈N^*），求S_n=c₁+c₂+…+c_n．

Answer

（1）由数列{an}、{bn}满足a1=1，a2=3，，bn=an+1-an，知{bn}是以2为首项，以2为公比的等比数列，由此求出．从而利用累加法能求出an=2n-1．
（2）由an=2n-1，bn=2n-1，知cn=bn•log2（an+1）==n•2n-1，由此利用错位相减法能求出Sn=c1+c2+…+cn．
【解析】
（1）∵数列{an}、{bn}满足a1=1，a2=3，，bn=an+1-an，
∴b1=a2-a1=3-1=2，
∴{bn}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴．
∴a2-a1=2，
a3-a2=22，
…
an-an-1=2n-1，
∴an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=1+2+22+…+2n-1
=
=2n-1．
（2）∵an=2n-1，bn=2n-1，
∴cn=bn•log2（an+1）==n•2n-1，
∴Sn=c1+c2+…+cn=1×2+2×2+3×22+…+n•2n-1，
∴2Sn=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，
∴-Sn=1+2+22+23+…+2n-1-n•2n
=-n•2n
=2n-1-n•2n，
∴-2n+1．