Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+a²（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）对任意m∈（0，2]，关于x的不等式f（x）＜m³-mlnm-mt+3在x∈[2，+∞） 上有解，求实数t的取值范围．

Answer

（1）由题意可知f'（x）＜0的解集为（1，2），即f'（x）=0的两根为1，2，利用韦达定理以及f（0）=1，建立方程组，解之即可求出函数f（x）的解析式；
（2）对任意m∈（0，2]，不等式f（x）＜m3-mlnm-mt+3在x∈[2，+∞） 上有解，等价于fmin（x）＜m3-mlnm-mt+3对任意m∈（0，2]恒成立，再分离参数转化求函数最值问题即可．
【解析】
（1）由已知得，f′（x）=3ax2+2bx+c，
∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2的单调递减区间是（1，2），
∴由f′（x）＜0，得1＜x＜2，
∴f′（x）=3ax2+2bx+c=0的两个根分别是1和2，且a＞0，
从f（0）=a2=1且 a＞0可得a=1，
又，解得，
∴f（x）=x3-x2+6x+1．
（2）由（1）得，f′（x）=3x2-9x+6=3（x-1）（x-2），
当x∈[2，+∞）时，f′（x）≥0，所以f（x）在[2，+∞）上是增函数，
对x∈[2，+∞），当x=2时，f（x）min=f（2）=3，
要使f（x）＜m3-mlnm-mt+3在x∈[2，+∞）上有解，
只需fmin（x）＜m3-mlnm-mt+3，即3＜m3-mlnm-mt+3对任意m∈（0，2]恒成立，
也即mt＜m3-mlnm对任意m∈（0，2]恒成立，即t＜m2-lnm对任意m∈（0，2]恒成立，
设h（m）=m2-lnm，m∈（0，2]，则t＜h（m）min，
h′（m）=m-==，令h′（m）=0，得m=1或m=-1（舍），
当m∈（0，2]时，h′（m）与h（m）的变化情况如下表：

m （0，1） 1 （1，2） 2
h′（m） - +
h（m） ↘ 极小值 ↗ 2-ln2

∴m=1时，h（m）min=h（m）极小值=，
所以t＜，即实数t的取值范围为t＜．