Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=
（1）计算：f（-1）、f（0）、f（1）、f（2），并求出f（n+3）与f（n），n∈N^*满足的关系式；
（2）对于数列{a_n}，若存在正整数T，使得a_n+T=a_n，则称数列{a_n}为周期数列，T为数列的周期，令，证明：{a_n}为周期数列，指出它的周期T，并求a₂₀₁₂的值．

Answer

（1）由f（-1）=log22=1，f（0）=0，f（1）=f（0）-f（-1）=-1，f（2）=f（1）-f（0）=-1能推导出f（n+3）=-f（n）．
（2）由an+3=-an，知an+6=-an+3=an．由此得到{an}是周期为6的周期数列，由此能求出a2012．
【解析】
（1）f（-1）=log22=1，f（0）=0，
f（1）=f（0）-f（-1）=-1，
f（2）=f（1）-f（0）=-1．…（4分）
当n∈N*时，由已知可得：f（n+2）=f（n+1）-f（n），
f（n+3）=f（n+2）-f（n+1），…（6分）
两式相加：f（n+3）=-f（n）．…（7分）
（2）由（1）得：an+3=-an，
∴an+6=-an+3=an．…（10分）
∴{an}是周期为6的周期数列．…（11分）
∴a2012=a335×6+2=a2=f（2）=-1．…（14分）