Question

已知集合A={a₁，a₂，…，a_n}中的元素都是正整数，且a₁＜a₂＜…＜a_n，对任意的x，y∈A，且x≠y，都有．
（1）求证：；（提示：可先求证（i=1，2，…，n-1），然后再完成所要证的结论．）
（2）求证：n≤11；
（3）对于n=11，试给出一个满足条件的集合A．

Answer

（1）依题意有（i=1，2，…，n-1），由此能够推导出．
（2）由，a1≥1，得，导出n＜37．由此能够推导出，从而能够证明n≤11．
（3）由，，，，，，设a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，a6=6，由此能够推导出满足条件的一个集合A．
证明：（1）依题意有（i=1，2，…，n-1），
又a1＜a2＜…＜an，
∴，
∴（i=1，2，…，n-1）．…（2分）
∴，
故．…（4分）
（2）由（1）得，
又由a1≥1，得，因此n＜37．…（5分）
同理，，知．又ai≥i，得．…（7分）
∴i（n-i）＜36（i=1，2，…，n-1）都成立．…（8分）
当n≥12时，取i=6，则i（n-i）=6（n-6）≥36，与i（n-i）＜36不符，
∴n＜12．…（9分）
又当n≤11时，，符合题意，
∴n≤11．…（10分）
（3）由（1）可知，，
∵，，，，，
∴可设a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，a6=6．…（12分）
由，可得，取a7=8；…（13分）
由，可得，取a8=11；…（14分）
由，可得，取a9=16；…（15分）
由，可得，取a10=29；…（16分）
由，可得，取a11=150；…（17分）
∴满足条件的一个集合A={1，2，3，4，5，6，8，11，16，29，150}（答案不唯一）．…（18分）
说明：也有同学在第（2）小题的证明过程中，
先逐一求得a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，a6=6，a7=8，a8=11，a9=16，a10=29，a11=150，
然后由，得，
∴a12不存在，即n≤11．…（20分）