Question

已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，f（A）=1，求b+c的最大值．

Answer

（1）将f（x）解析式第一、三项结合，利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；由正弦函数的递增区间为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函数的递增区间；
（2）由（1）确定的函数解析式，及f（A）=1，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，确定出sinA的值，及B+C的度数，用B表示出C，由a与sinA的值，利用正弦定理表示出b与c，代入b+c中，将表示出的C代入，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域即可求出正弦函数的最大值，即为b+c的最大值．
【解析】
（1）f（x）=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=2sin（2x+），
∵ω=2，∴f（x）的最小正周期为T=π，
令2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z），解得：kπ-≤x≤π+，k∈Z，
则f（x）的单调增区间为[kπ-，π+]，k∈Z；
（2）∵f（A）=2sin（2A+）=1，∴sin（2A+）=，
∴2A+=，∴A=，∴B+C=，
∵a=，sinA=，
∴由正弦定理得：====2，
∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（-B）]=2（sinB+cosB+cosB）
=2（sinB+cosB）=2sin（B+）≤2，
∴当B=时，b+c最大为2．