Question

如图，PA垂直于矩形ABCD所在平面，PA=AD，E、F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求证：平面PCE⊥平面PCD．

Answer

（1）取PC中点G，利用三角形的中位线证明四边形AEGF为平行四边形，从而证明AF∥平面PCE．
（2）先证明CD⊥AF，AF⊥PD，从而证明AF⊥平面PCD，再由AF∥EG 得，EG⊥平面PCD，从而证得平面PCE⊥平面PCD．
证明：（1）取PC中点G，连接FG、EG，∵F、G分别为PD、PC的中点，∴FG∥CD 且FG=CD．
∵AE∥CD且AE=CD，∴FG∥AE且FG=AE，∴四边形AEGF为平行四边形，
∴AF∥EG，又∵AF⊄平面PCE，∴AF∥平面PCE．
（2）由PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，CD⊥AF．
又∵PA⊥AD，PA=AD，故△PAD为等腰直角三角形，再由F为PD的中点，可得AF⊥PD，
这样，AF垂直于平面PCD内的两条相交直线CD、PD，∴AF⊥平面PCD．
∵AF∥EG，∴EG⊥平面PCD，又∵EG⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PCD．