Question

已知函数f（x）=lnx+x，g（x）=ax²（a≠0）
（1）若a=1，求函数H（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若函数H（x）=f（x）-g（x）在其定义域上不单调，求实数a的取值范围；
（3）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线，求实数a的值并求点P的坐标．

Answer

（1）a=1时写出H（x）的表达式，求导数H′（x），然后在定义域内解不等式H′（x）＞0，H′（x）＜0即可；
（2）H（x）在定义域内不单调，则函数H′（x）在（0，+∞）内有零点，且在零点两侧函数值异号，据此得一不等式组，解出即可；
（3）设P（x，y），则lnx+x=，f′（x）=g′（x），联立消掉a可得关于x的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一x值，进而可求a值；
【解析】
（1）当a=1时，H（x）=f（x）-g（x）=lnx+x-x2，定义域为（0，+∞），
H′（x）=+1-2x=-，
当0＜x＜1时，H′（x）＞0，当x＞1时，H′（x）＜0，
所以函数H（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
（2）H（x）=lnx+x-ax2，H′（x）==，
因为H（x）在定义域内不单调，则函数h（x）=1+x-2ax2在（0，+∞）内有零点，且在零点两侧函数值异号，
又h（0）=1＞0，则有或，解得a＞0．
故实数a的取值范围为（0，+∞）．
（3）设P（x，y），则lnx+x=①，f′（x）=g′（x），即，化简得x+1=②
联立①②消a得，lnx+-=0，
令φ（x）=lnx+x-，易知φ（x）=lnx+x-在（0，+∞）上单调递增，又φ（1）=0，
所以lnx+x-=0有唯一解1，即x=1，则y=f（1）=1，g（1）=a=1，
故P（1，1），a=1．