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已知函数f(x)=ax3+x2-ax(a,x∈R). (1)当a=1时,求函数f...

已知函数f(x)=ax3+x2-ax(a,x∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(2)若f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,试求a的取值或取值范围;
(3)设函数manfen5.com 满分网,x∈(-1,b],(b>-1),如果存在a∈(-∞,-1],对任意x∈(-1,b]都有h(x)≥0成立,试求b的最大值.
(1)求导数,确定函数的单调性,可得函数的极值; (2)若f(x)在区间[0,+∞)上是单调递增函数,则f'(x)在区间[0,+∞)内恒大于或等于零,由此可求a的取值; (3)存在a∈(-∞,-1],对任意x∈(-1,b](b>-1)都有h(x)≥0成立,等价于h(x)≥h(-1)在区间[-1,b]上恒成立,即(x+1)[ax2+(2a+1)x+(1-3a)]≥0,进而分类讨论,即可求得结论. 【解析】 (1)当a=1时,f(x)=x3+x2-x,∴f′(x)=3x2+2x-1, 令f′(x)=0,则,x2=-1,…(2分) x、f′(x)和f(x)的变化情况如下表 x (-∞,-1) -1 f′(x) + - + f(x) ↗ 极大值f(-1)=1 ↘ 极小值 ↗ 即函数的极大值为1,极小值为;                       …(5分) (2)f'(x)=3ax2+2x-a, 若f(x)在区间[0,+∞)上是单调递增函数,则f'(x)在区间[0,+∞)内恒大于或等于零, 若a<0,二次函数图象开口向下,不可能在[0,+∞)上单调递增; 若a=0,则f(x)=x2符合条件; 若a>0,则由二次函数f'(x)=3ax2+2x-a的性质知,即,这也不可能, 综上可知,当且仅当a=0时,f(x)在区间[0,+∞)上单调递增;     …(10分) (3)由f'(x)=3ax2+2x-a,, ∴h(x)=ax2+(2a+1)x+(1-3a),x∈(-1,b],(b>-1), 当-1<x≤b时,令ax2+(2a+1)x+(1-3a)≥0,…①, 由a∈(-∞,-1],∴h(x)的图象是开口向下的抛物线, 故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得,…(11分) 又h(-1)=-4a>0, ∴不等式①恒成立的充要条件是h(b)≥0,即ab2+(2a+1)b+(1-3a)≥0, ∵b>-1,∴b+1>0,且a<0,∴, 依题意这一关于a的不等式在区间(-∞,-1]上有解, ∴,即,b2+b-4≤0, ∴,又b>-1,故, 从而.                     …(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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