Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的动点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；
（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．

Answer

（1）利用四棱锥的体积计算公式即可；
（2）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（3）利用线面垂直的判定和性质即可证明．
【解析】
（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA为此四棱锥底面上的高．
∴V四棱锥P-ABCD==．
（2）理解AC交BD于O，连接OE．
∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC，
又∵AE=EP，∴OE∥PC．
又∵PC⊄平面BCE，OE⊂平面BCE．
∴PC∥平面BCE．
（3）不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．
又∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC．
∵CE⊂平面PAC．
∴BD⊥CE．