Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求角A的大小；  
（Ⅱ）若角，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的内切圆半径r与外接圆半径R的比值．

Answer

（Ⅰ）通过已知条件利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，化简求出角A余弦函数值，然后求出A的大小；  
（Ⅱ）利用角，BC边上的中线AM的长为，通过余弦定理求出AC的长，通过三角形面积求出△ABC的内切圆半径r，通过正弦定理求出三角形外接圆半径R，然后求解比值．
【解析】
（Ⅰ）∵，
∴．
即．
∴．…．（2分）
则，∴，因为0＜A＜π则．…．（4分）
（Ⅱ）由（1）知，所以AC=BC，，
设AC=x，在△AMC中由余弦定理得AC2+MC2-2AC•MCcosC=AM2，
即，解得x=2，…．（8分）
故．，
∴．…（12分）