Question

以椭圆的短轴的一个端点B（0，1）为直角顶点，作椭圆的内接等腰直角三角形的个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

Answer

设直角三角形一腰所在直线为y=kx+1（k＞0），则另一腰所在直线方程为y=-kx+1，分别代入椭圆方程，求得两腰的长，由两腰长相等得关于k的方程，讨论方程的根的个数即可得符合条件的三角形的个数．
【解析】
因a=2＞1，短轴一端点为B（0，1），内接直角三角形为△ABC，
则两腰所在直线的斜率一定存在且不为0，
设BC：y=kx+1（k＞0）
则AB：y=-x+1
把BC方程代入椭圆，
得（1+4k2）x2+24kx=0
∴|BC|=，同理|AB|=，
由|AB|=|BC|，得k3-4k2+4k-1=0
（k-1）[k2-3k+1]=0
∴k=1或k2-3k+1=0
当k2-3k+1=0时，△=32-4＞0
∵△＞0，方程（k-1）[k2+（1-a2）k+1]=0有三解
符合条件的等腰三角形可作三个．
故选D．