Question

已知函数，当k=1时，对任意的实数x₁，x₂，x₃，均有f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，这样就存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边长的三角形．当k＞1时，若对任意的实数x₁，x₂，x₃，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边长的三角形，则实数k的最大值为    ．

Answer

对任意的实数x1，x2，x3，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，说明|f（x1）-f（x2）|＜f（x3）恒成立，从而转化为|f（x1）-f（x2）|的最大值小于f（x3）的最小值．根据函数f（x）的结构特点可求出其值域，进而求得要求最值．
【解析】
当k＞1时，f（x）==1+，
所以f（x）的值域为（1，1+]．
若对任意的实数x1，x2，x3，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，
即|f（x1）-f（x2）|＜f（x3）恒成立，
又|f（x1）-f（x2）|的最大值小于，
所以≤1，解得k≤4，又k＞1，所以1＜k≤4．
故答案为：4．