Question

已知函数
（Ⅰ）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
（Ⅱ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

Answer

（Ⅰ）根据分段函数，分类讨论求最值，利用导数确定函数的单调性，从而可得最值；
（Ⅱ）假设存在，设出P（t，f（t））（t＞0），利用，可得-t2+f（t）•（t3+t2）=0，是否存在点P，Q等价于方程是否有解，分类讨论，即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ）因为
①当-1≤x≤1时，f'（x）=-x（3x-2），解f'（x）＞0得到；解f'（x）＜0得到-1＜x＜0或．所以f（x）在（-1，0）和上单调递减，在上单调递增，
从而f（x）在处取得极大值．…（3分），
又f（-1）=2，f（1）=0，所以f（x）在[-1，1）上的最大值为2．…（4分）
②当1≤x≤e时，f（x）=alnx，当a≤0时，f（x）≤0；当a＞0时，f（x）在[1，e]上单调递增，
所以f（x）在[1，e]上的最大值为a．
所以当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2．…（8分）
（Ⅱ）假设曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，则P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2），且t≠1．…（9分）
因为△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，所以，
即：-t2+f（t）•（t3+t2）=0（1）…（10分）   
是否存在点P，Q等价于方程（1）是否有解．
若0＜t＜1，则f（t）=-t3+t2，代入方程（1）得：t4-t2+1=0，此方程无实数解．…（11分）
若t＞1，则f（t）=alnt，代入方程（1）得到：，…（12分）
设h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则在[1，+∞）上恒成立．
所以h（x）在[1，+∞）上单调递增，从而h（x）≥h（1）=0，
所以当a＞0时，方程有解，即方程（1）有解．…（14分）
所以，对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（15分）