Question

已知实数x，y满足在不等式axy≥x²+y²恒成立，则实数a的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．2

Answer

作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部．设P（x，y）是区域内一个动点，则k=为直线OP的斜率，运动点P，可得k∈[，]．不等式axy≥x2+y2恒成立，可得a≥+恒成立，结合前面得到的k的取值范围，不难得到实数a的最小值．
【解析】
作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，
其中A（2，3），B（6，3），C（，）
∵区域位于第一象限，
∴不等式axy≥x2+y2恒成立，即a恒成立
令k=，设P（x，y）是区域内一个动点，则k为直线OP的斜率
运动点P，可得当P与A重合时，k达到最大值；当P与C重合时，k达到最小值
∴k=∈[，]
∵=+=k+≥2=2，当且仅当k=1时等号成立
∴的最小值为2，最大值为+2=
因此，axy≥x2+y2恒成立，可得a
实数a的最小值为
故选：B