Question

已知圆O的半径为1，半径OA、OB的夹角为θ（0＜θ＜π），θ为常数，点C为圆O上的动点，若，则x+y的最大值为    ．

Answer

利用向量的模的运算性质与向量的数量积可求得x+y与θ的关系式，利用基本不等式与三角函数的升幂公式及可求得答案．
【解析】
∵圆O的半径为1，半径OA、OB的夹角为θ（0＜θ＜π），点C为圆O上的动点，=x+y（x，y∈R），
∴==x2+2xycosθ+y2=1，
∴（x+y）2-2xy+2xycosθ=1，
∴2xy（1-cosθ）=（x+y）2-1，
∵0＜θ＜π，
∴1-cosθ≠0，
∴2xy=，不妨令x＞0，y＞0，
则2xy=≤2×，令t=x+y（x＞0，y＞0），
则t2-1≤t2（1-cosθ），
整理得：t2≤==，
∴0＜t≤．
即x+y≤．
故答案为：．