Question

已知数列{a_n}满足：a₁+++…+=n²+2n，（其中常数λ＞0，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式：
（2）当λ=4时，是否存在互不相同的正整数r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比数列？若存在，给出r，s，t满足的条件，若不存在，说明理由．

Answer

（1）由a1+++…+=n2+2n，再写一式，两式相减，即可求得数列{an}的通项公式；
（2）当λ=4时，an=（2n+1）•4n-1，若存在ar，as，at成等比数列，可得得（2r+1）（2t+1）4r+t-2s=（2s+1）2，从而可得（r-t）2=0，与r≠t矛盾．
【解析】
（1）∵a1+++…+=n2+2n，①
∴当n=1时，a1=3，
当n≥2时，a1+++…+=（n-1）2+2（n-1）②
①-②可得=2n+1，∴an=（2n+1）λn-1，
经验证，当n=1是上式也成立，
∴数列{an}的通项公式为：an=（2n+1）λn-1
（2）假设存在互不相同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列，
则（2s+1）242s-2=（2t+1）4t-1•（2r+1）4r-1，
同除以42s-2，可得（2s+1）2=（2t+1）（2r+1）4r+t-2s，
由奇偶性知r+t-2s=0，所以（2r+1）（2t+1）=（r+t+1）2，即（r-t）2=0．
这与r≠t矛盾，故不存在这样的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列．