Question

设数列{a_n}的前n项的和为S_n，满足
（Ⅰ）求首项a₁
（Ⅱ）令，求证{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）设，数列{c_n}的前n项的和为T_n，证明：T_n＜1．

Answer

（Ⅰ）n=1代入，即可求a1；
（Ⅱ）再写一式，两式相减，即可证明{bn}是等比数列；
（Ⅲ）写出数列的通项，利用裂项法求和，即可证得结论．
（Ⅰ）【解析】
当n=1时，3a1=3S1=4a1-4+2，∴a1=2   …（2分）
（Ⅱ）证明：由  ①
则    ②
将①和②相减得3an=3Sn-3Sn-1=4（an-an-1）-（2n+1-2n）
整理得an=4an-1+2n，…（4分）
故==4（n≥2）
因而数列{bn}是首项为b1=a1+2=4，公比为4的等比数列 …（6分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知bn=4n，
∵，∴an=4n-2n，…（7分）
将an=4n-2n代入①得=2（2n+1-1）（2n-1）
∴=-       …（12分）
∴Tn=-+…+-=1-＜1 …（14分）