Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：BC₁∥平面ACD₁；
（2）证明：A₁D⊥D₁E；
（3）当E为AB的中点时，求四棱锥E-ACD₁的体积．

Answer

（1）利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明；
（3）利用=即可求出．
【解析】
（1）证明：∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，∴AB∥D1C1，AB=D1C1，
∴AB C1 D1为平行四边形，∴B C1∥AD1，
又∵BC1⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，
∴BC1∥平面ACD1．
（2）证明：∵AE⊥平面AA1D1D，A1D⊂平面AA1D1D，
∴A1D⊥AE．
∵四边形AA1D1D为正方形，∴A1D⊥A D1，
又AD1∩AE=A，∴A1D⊥平面AD1E，
∵D1E⊂平面AD1E，∴A1D⊥D1E．
（3）【解析】
∵S△ACE===．
∴===．
所以三棱锥E-ACD1的体积．