Question

有一学生对函数f（x）=xcosx进行了研究，得到如下五条结论：①函数f（x）在（一π，0）上单调递增，在（0，π）上单调递减；
②存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立；
③函数y=f（x）图象的一个对称中心是；
④函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离相等；
⑤函数y=f（x）的图象与直线．y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离相等；其中正确结论的序号是    ．（写出所有你认为正确的结论的序号）

Answer

研究函数f（x）得单调性可知函数f（x）为奇函数，结合奇函数的对称区间上的单调性可判断①；根据y=cosx是有界函数可判断②；根据函数基本性质：对称性的应用可判断③；令f（x）=xcosx=0，可求方程的解，从而可得函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离不相等，由此能判断④；令f（x）=xcosx=x，可求方程的解，从而可得函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离相等，由此能判断⑤．
【解析】
①因为f（x）=xcosx
所以，f（-x）=-xcos（-x）=-xcosx=-f（x）
则函数f（x）是奇函数，在对称的区间上单调性相同，故①错误；
②因为|cosx|≤1，令M=2即得|f（x）|≤M|x|成立，故②正确；
③因为f（π+x）+f（π-x）=-（π+2x）sinx+（π-2x）sinx=-4xsinx≠0，
所以点（π，0）不是函数y=f（x）图象的一个对称中心，故③错误；
④令f（x）=xcosx=0，∴x=0或cosx=0，∴x=0或x=kπ+，（k∈Z），
故函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，
且任意相邻两公共点间的距离不相等，故④不成立；
⑤令f（x）=xcosx=x，∴cosx=1，∴x=0或x=kπ，（k∈Z），
故函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，
且任意相邻两公共点间的距离相等，故⑤成立．
故答案为：②⑤．