Question

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²-2sin²x
（1）求f（x）的最小正周期：
（2）函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向左平移个单位长度，再将图象上点的横坐标伸长为原来的2倍得到的，若角A为三角形的最小内角，求g（A）的取值范围．

Answer

（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 sin（2x-），由此求得函数的最小正周期．
（2）把y=f（x）的图象经过两次变换后得到所得图象对应的函数解析式为g（x）=sin（x-），故g（A）=sin（A-），再根据0＜A≤，求出g（A）的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=（sinx+cosx）2-2sin2x=1+sin2x-2×=1+sin2x-1-cos2x
=sin2x-cos2x=sin（2x-），
故函数的最小正周期为=π．
（2）把y=f（x）的图象向左平移个单位长度所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x-）-]
=sin（2x-），
再将图象上点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数y=sin（x-） 的图象，
故由题意可得g（x）=sin（x-），故g（A）=sin（A-）．
若角A为三角形的最小内角，则有0＜A≤，∴-＜A-≤0，-＜sin（A-）≤0，
故-＜sin（A-）≤0，
故g（A）的取值范围为（-，0]．