Question

已知函数f（x）=x²+2lnx+（a-6）x在（1，+∞）上为单调递增函数．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若g（x）=e^2x-2ae^x+a，x∈[0，ln3]，求g（x）的最小值．

Answer

（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）=x2+2lnx+（a-6）x在（1，+∞）上为单调递增函数，构建不等式，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）利用换元法，转化为二次函数求最值，利用配方法可得结论．
【解析】
（Ⅰ）求导函数可得f′（x）=2x++（a-6）
∵函数f（x）=x2+2lnx+（a-6）x在（1，+∞）上为单调递增函数，
∴f′（x）=2x++（a-6）≥0，即a-6≥-（2x+）在（1，+∞）上恒成立
∴a-6≥-4，
∴a≥2；
（Ⅱ）令t=ex，则∵x∈[0，ln3]，∴t∈[1，3]
∴y=t2-2at+a=（t-a）2-a2+a
∴a＜1时，ymin=g（1）=1-a；1≤a≤3时，ymin=g（a）=-a2+a；a＞3时，ymin=g（3）=9-5a．