Question

为了保护环境，某工厂在政府部门的支持下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品．
（Ⅰ）当x∈[30，50]时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？
（Ⅱ） 当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少．

Answer

（Ⅰ）利用每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品，及处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论；
（Ⅱ）求得二氧化碳的每吨平均处理成本函数是分段函数，再分段求出函数的最值，比较其大小，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）当x∈[30，50]时，设该工厂获利为S，则S=20x-（x2-40x+1600）=-（x-30）2-700
所以当x∈[30，50]时，S＜0，因此，该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴700万元，才能使工厂不亏损    
（Ⅱ）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
①当x∈[10，30）时，P（x）=，∴P′（x）==
∴x∈[10，20）时，P′（x）＜0，P（x）为减函数；x∈（20，30）时，P′（x）＞0，P（x）为增函数，
∴x=20时，P（x）取得最小值，即P（20）=48；
②当x∈[30，50]时，P（x）=-40≥-40=40
当且仅当x=，即x=40∈[30，50]时，P（x）取得最小值P（40）=40
∵48＞40，
∴当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．