Question

设F₁、F₂为椭圆16x²+25y²=400的焦点，P为椭圆上的一点，且∠F₁PF₂=120°，则△PF₁F₂的面积为    ．

Answer

根据椭圆的定义，得PF1+PF2=2a=10…①，再在△F1PF2中用余弦定理，得PF12+PF22+PF1•PF2=36…②．由①②联解，得PF1•PF2=64，最后用根据正弦定理关于面积的公式，可得△PF1F2的面积．
【解析】
∵椭圆方程是，
∴a2=25，b2=16．可得a=5，c2=25-16=9，即c=3．
∵P是椭圆上的一点，F1、F2是焦点，
∴根据椭圆的定义，得PF1+PF2=2a=10…①
又∵△F1PF2中，∠F1PF2=60°且F1F2=2c=6
∴根据余弦定理，得F1F22=PF12+PF22-2PF1•PF2cos120°=36
即PF12+PF22+PF1•PF2=36…②
∴①②联解，得PF1•PF2=64
根据正弦定理，得△PF1F2的面积为：S=PF1•PF2sin120°=16．
故答案为：16．