Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D，D₁分别为棱BC，B₁C₁的中点．
（1）求证：直线A₁D₁∥平面ADC₁．
（2）求证：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（3）设底面边长为2，侧棱长为4，求二面角C₁-AD-C的余弦值．

Answer

（1）利用线面平行的判定定理，只需证明平面外的直线平行于平面内的一条直线，证明A1D1∥AD即可；
（2）利用面面垂直的判定定理，只需证明一个平面经过另一个平面的垂直，证明AD⊥平面BCC1B1即可；
（3）先判断∠C1DC为二面角C1-AD-C的平面角，再在Rt△C1CD中求解即可．
（1）证明：连接DD1，∵点D1为棱B1C1的中点，
则，所以四边形AA1D1D为平行四边形
∴A1D1∥AD．  …（3分）
又AD⊂平面ADC1，A1D1⊄平面ADC1，
∴A1D1∥平面ADC1…（5分）
（2）证明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵CC1⊥底面ABC，又AD⊂底面ABC
∴AD⊥CC1…（7分）
∵点D为棱BC的中点，
∴AD⊥BC，…（8分）
CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，CC1∩BC=C，
∴AD⊥平面BCC1B1…（9分）
又∵AD⊂平面ADC1，
∴平面ADC1⊥平面BCC1B1…（10分）
（3）【解析】
由（1）得AD⊥平面BCC1B1，
∴AD⊥BC，AD⊥C1D
∴∠C1DC为二面角C1-AD-C的平面角 …（12分）
又CD=1，CC1=4，∴
在Rt△C1CD中，
∴二面角C1-AD-C的余弦值为．…（14分）