Question

已知函数f（x）=，x∈（-1，1）
（1）判断此函数的奇偶性；
（2）判断函数的单调性，并加以证明．
（3）解不等式f（x）-f（1-x）＞0．

Answer

（1）将函数解析式中x换为-x，变形得到f（-x）=-f（x），即函数为奇函数；
（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，根据x的范围判断出f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），即可得到此函数为增函数；
（3）利用（2）得到此函数为增函数，及x的范围列出关于x的不等式组，求出不等式组的解集即可得到x的范围．
【解析】
（1）∵f（-x）==-=-f（x），
∴f（x）=，x∈（-1，1）为奇函数；
（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=，
∵x12+1＞0，x22+1＞0，x2-x1＞0，
∴当-1＜x1＜x2＜1时，x1x2-1＜0，即f（x1）-f（x2）＜0，
则函数f（x）是增函数；
（3）根据题意得：，
解得：＜x＜1，
则原不等式的解集为{x|＜x＜1}．